輪盤的賭場優勢
平均來講，賭場對逐注留起來的比例。
歐式輪盤：逐種標準注攏是2.70%，因為賠付是當做有36个格仔咧算，實際上有37个。
推導
一个單號注注單號注一个號碼，賠35:1。讀規篇 →公平的賠率應該是36賠1，因為逐一種贏的方法，就有36種輸的方法。賭場干焦照35賠1賠。少的彼一單位錢單位一个系統抑是一个玩家用的基本注額。加注系統用單位來描述，按呢佇任何賭桌攏適用。讀規篇 →，分佇37種機會仝款的結果，就是逐擺注額的1/37 = 2.70%。仝款的差額出現佇逐種賠付錢賠付一注著的時退予你的錢，用「X賠1」表示，閣另外退還注額。讀規篇 →，因為逐種賠付攏用36/n − 1的規則：分注注分注兩个相黏的號碼，賠17:1。讀規篇 →賠17，毋是17.5；打注注打注1–12、13–24抑是25–36，賠2:1。讀規篇 →賠2，毋是2.083；紅注紅押18个紅號碼的一賠一的注。法文：rouge。讀規篇 →賠1，毋是1.056。差距永遠是逐擺著1/n單位，逐擺轉著n/37擺，所以逐擺轉永遠是1/37。
優勢對留存率
優勢是逐單位落注的預期損失數學預期損失期望值乘總落注額；一場抑是一段時間內底平均輸去的金額。讀規篇 →：逐擺2.70%。留存率錢留存率玩家紮來賭桌的錢內底，賭場實際留落來的比例。比賭場優勢較懸，因為贏的錢閣落落去。讀規篇 →是賭場實際上對你紮來賭桌的錢留起來的部分，伊懸真濟，因為你會共贏的錢閣押落去。一个$100的換籌碼賭桌換籌碼佇賭桌用現金換籌碼。佇兩擺轉中間換，現金囥佇落注桌面頂，毋是直接交予荷官。讀規篇 →，一擺押$10、押200擺，總落注$2,000，付大約$54的優勢；彼个換籌碼的留存率是54%。賭場報告留存率；玩家應該用優勢來想。
為啥物逐注的優勢攏仝款
這是設計的選擇，毋是拄好。36/n − 1的規則是18世紀定的，雙零變體雙零美式轉輪頂的00格仔。有伊，賭場優勢就對2.70%升到5.26%。讀規篇 →是後來才提掉的，賠付無改。若賠付對37个格仔設備格仔轉盤頂37个有號碼的格仔其中一个。英文嘛叫slot、cup。讀規篇 →是公平的，單號注會是36賠1，賭場就無收入。統一的優勢誠方便：無一種輪盤注比另外一種較「戇人注」，唯一的例外是美式的五號注，7.89%。
輪盤的優勢毋是啥物
伊毋是一場輸的機率數學機率一个結果的機會，對0到1，抑是0%到100%。一个號碼：1/37 = 2.70%。讀規篇 →；大部分的短場是變異數數學變異數結果佇期望值周圍散偌開的量度。單號注懸，一賠一的注低。讀規篇 →決定的，100擺一賠一的注的場，大約42%是贏收場。伊毋是逐場的費用；伊綴總落注額錢總落注額一場抑是一段時間落注的總金額，閣落落去的贏的錢嘛算。英文嘛叫handle、action。讀規篇 →變，所以一套押較濟的加注系統策略加注系統任何照進前的結果改變注額的規則。輸了加注的系統佇輸了後加注，贏了加注的系統佇贏了後加注。讀規篇 →付較濟。伊毋是一種落注模式會當沖淡的物件，因為同時落的注，優勢會照注額的比例相加。
用錢來看
逐$1,000的落注，預期損失佇歐式輪盤變體歐式輪盤單零轉輪，37个格仔，賭場優勢2.70%。本站的標準模型。讀規篇 →是$27.03，美式是$52.63，有La Partage規則La partage（分一半規則）法式規則：開零號的時，一賠一的注額退一半。予彼款注的賭場優勢減一半，變1.35%。讀規篇 →的一賠一的注注一賠一的注紅／烏、單／雙、大／細。18个號碼，賠1:1。讀規篇 →是$13.51。一个熟客逐暗押$500，一禮拜兩擺，耍一年，總落注$52,000，佇歐式轉輪付大約$1,400的優勢。這个數字逐擺真細，逐年煞無停。
逐擺轉抑是逐注結算
差不多逐種輪盤注攏是一擺轉就結算，所以伊逐擺轉的優勢佮逐注的優勢是仝一个數字。一注會當平手、留佇落注桌面設備落注桌面賭桌頂印的落注格。英文嘛叫table、felt、cloth。讀規篇 →頂的注，就有兩个。Riverboat Roulette的藍綠色注涵蓋美式轉輪的3个號碼，若其中一个比8个白色號碼的其中一个較早出就贏，2賠1，其他的攏平手。逐注結算伊輸注額的2/11，18.18%。逐擺轉伊輸2/38，5.26%，因為平均一注會留38/11擺，大約3.5擺。兩个數字攏著。逐擺轉的數字是共這注佮桌頂其他的注比，閣決定一點鐘愛偌濟錢；逐注結算的數字講的是，這注上尾結算的時，逐注額有偌濟會倒轉來。
賭場共價數算毋著的時
這頁逐个優勢攏來自賭場平常算著的算術。有時陣𪜶算毋著。1994年10月，密西西比州比洛克西的Grand Casino，三粒骰仔總數是4的注開80賠1，17嘛仝款。三粒骰仔有216種落法，干焦3種總數是4，所以這注逐單位注額會倒轉81 × 3/216 = 1.125：玩家有12.5%的優勢。玩家發覺矣。賭場一工輸大約$180,000，共這注關掉，閣用60賠1重開，按呢仝款216分之3的機會，變做賭場15.3%的優勢。Hunacek（2025）引用Bollman講這个故事。輪盤的標準賠付傷簡單，袂按呢算毋著；伊少見的邊注注邊注掛佇主要遊戲頂的選擇性加注，通常押連續的結果、紅利事件抑是大獎。差不多攏比標準的注較貴。讀規篇 →才是值得檢查算術的所在。
其他賭桌遊戲的邊注
Bollman（2021）共二十一點、百家樂、Craps（擲骰仔）佮輪盤的主注，佮仝款賭桌頂典型的邊注排做伙。佇頭三種遊戲，邊注比主注較貴，定定貴幾若倍。例外是表內上尾彼種遊戲：美式輪盤變體美式輪盤有0佮00、38个格仔的轉輪，賭場優勢5.26%。毋是本站預設的模型。讀規篇 →主注的優勢是5.26%，懸甲像Colors抑是WINGO這款邊注會當較俗。
公式
問題
毋是。是你落注的2.70%。共仝款的錢閣押落去，就閣落注一擺。
袂。伊是一个比例。用錢算的預期損失綴注額變。
用優勢來量，歐式所有的標準注攏平等；𪜶干焦佇偌定著佮賠偌濟無仝。有La Partage的時，一賠一的注是其他的一半。
數學好耍
先家己試看覓。逐題的解答攏摺起來矣；準備好才拍開。
佇歐式轉輪，單號注注單號注一个號碼，賠35:1。讀規篇 →佮押紅注紅押18个紅號碼的一賠一的注。法文：rouge。讀規篇 →的注，代價攏是2.70%，雖然一个干焦涵蓋一个號碼，另外一个涵蓋十八个。為啥物逐種注的賭場優勢數學賭場優勢逐注注額內底，平均予賭場留落來的比例：歐式輪盤是2.70%。讀規篇 →攏仝款？
看解答
答案 逐種賠付錢賠付一注著的時退予你的錢，用「X賠1」表示，閣另外退還注額。讀規篇 →攏是當做零號轉輪零號彼个青色的單一格仔，一賠一的注、打注佮欄注攏無包著；賭場優勢的來源。嘛叫做單零、0。讀規篇 →無存在來定的，所以毋管涵蓋偌濟，逐種注37擺內底攏會輸一个單位錢單位一个系統抑是一个玩家用的基本注額。加注系統用單位來描述，按呢佇任何賭桌攏適用。讀規篇 →。
提一注涵蓋n个號碼的注來講。伊賠(36 − n)/n賠1。37擺內底，平均伊著n擺，輸37 − n擺。
著的時趁轉來n × (36 − n)/n = 36 − n个單位。輸的時愛了37 − n个單位。差額是逐37擺−1个單位，n消去矣：單號注、角注注角注佇落注桌面頂共一个角的四个號碼，賠8:1。讀規篇 →抑是打注注打注1–12、13–24抑是25–36，賠2:1。讀規篇 →結果攏仝款。37擺輸一个單位，就是2.70%。
若轉輪有N个格仔設備格仔轉盤頂37个有號碼的格仔其中一个。英文嘛叫slot、cup。讀規篇 →，仝款的算法得著(36 − N)/N，所以美式轉輪是−2/38 = 5.26%。唯一破這个規律的是美式的五號注：照規則應該是6.2賠1，伊干焦賠6，代價是7.89%。
Keno這種彩券款的遊戲，會留落去注額的25%抑是閣較濟。賭場若佇輪盤的轉輪加零號，賠付無改，愛加幾个零號，輪盤才會佮Keno仝款貴？
看解答
答案 十二个零號：48个格仔的轉輪。
有z个零號，轉輪就有36 + z个格仔，賠付猶原是照36个算。照頂一題的規則，逐種注佇36 + z擺內底攏輸z个單位，所以賭場優勢是z/(36 + z)。
予伊等於四分之一：4z = 36 + z，所以z = 12。48个格仔的轉輪有十二个零號，代價就是25%。
拉斯維加斯大道的三零轉輪，是大部分的玩家會拄著上貴的輪盤，零號干焦有彼个數的四分之一。
零號格仔賭場優勢1372.70%2385.26%3397.69%44010.00%124825.00%Massachusetts Lottery佇2023年推出一个有36个號碼、無零號的轉輪。單一个號碼賠「25 for 1」，紅、烏注烏押18个烏號碼的一賠一的注。法文：noir。讀規篇 →、單抑是雙賠「3 for 2」。無零號，敢有比輪盤較俗？
看解答
答案 無，貴足濟：號碼注是30.56%，紅抑是烏是25%，歐式轉輪是2.70%。
「for」包括注額。$1的號碼注平均36擺有一擺提轉來$25：落$36提轉來$25，36內底輸$11，30.56%。
$2押紅，一半的時提轉來$3：逐落$4提轉來$3，輸25%。
零號干焦是定價的一種方法。輪盤當做有36个格仔咧賠，才閣加第37个；這个轉輪有36个格仔，干焦是賠較少。Bollman（2024）共伊當做練習題。
一間賭場想欲推一種新的注，押1到36內底的十一个質數數學質數大過1、干焦會當予1佮家己除會盡的整數：2、3、5、7、11、13等等。讀規篇 →：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29佮31。伊愛賠偌濟，代價才會佮歐式轉輪其他逐種注仝款是2.70%？若是2賠1，代價是偌濟？
看解答
答案 25賠11，大約2.27賠1。2賠1的時，代價是10.81%。
用第一題的規則：涵蓋n个號碼的注賠(36 − n)/n賠1。n = 11就是25/11賠1，這款賠付真僫算，因為一塊$10的籌碼錢籌碼代表固定金額的牌仔，囥佇落注桌面頂來落注。英文嘛叫check。讀規篇 →會贏$22.73。
2賠1的時，$1的注37擺內底有11擺贏$2，其他26擺輸$1：22 − 26 = 逐37擺−4个單位，10.81%。
這就是輪盤為啥物干焦賣涵蓋1、2、3、4、6、12佮18个號碼的注：36攏除會盡，所以公平的賠付是整數。Taylor（2021）出這題練習用十个質數；其實有十一个。
笑詼漫畫
逐注額的1/37，逐種注，逐擺轉。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Hunacek, M. Quantitative Literacy Through Games and Gambling.