破產風險
佇達到目標進前，共規个本錢輸了了的機率。
一賠一的注，破產風險照賭徒破產公式。本錢$500、逐注$10、目標$600，你大約57%的時間會達到目標，賰的時間輸了了。
問題
你有a單位錢單位一个系統抑是一个玩家用的基本注額。加注系統用單位來描述，按呢佇任何賭桌攏適用。讀規篇 →的本錢錢本錢為著耍特別囥起來的規个總額。本錢管理就是決定逐注佮逐場欲冒偌濟風險。讀規篇 →，想欲達到a + b單位，一擺押一單位佇一个一賠一的注注一賠一的注紅／烏、單／雙、大／細。18个號碼，賠1:1。讀規篇 →，著的機率數學機率一个結果的機會，對0到1，抑是0%到100%。一个號碼：1/37 = 2.70%。讀規篇 →p = 18/37，輸的機率q = 19/37。你佇輸到零進前達到目標的機會是偌濟？這个答案是Pascal、Fermat佮Huygens佇1650年代算出來的，是機率上古早的結果之一。
賭徒破產公式
P（達到目標）= (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)。破產風險數學破產風險佇達到目標抑是轉夠擺數進前，共規个本錢輸了的機率。讀規篇 →是一減這个。q/p = 19/18 ≈ 1.0556，這个比例照單位數指數增加，所以公式對細的單位罰甲真重：愈濟注才達到目標，沿路付2.70%過路費的擺數就愈濟。
按怎讀
單位愈細愈傷。用$10的注欲共$500變兩倍，6%的時間會成功；用一注$500，48.6%的時間會成功。大膽的耍法，較少、較大的注，佇負期望值的遊戲內底，會予達到目標的機會上大，因為伊予優勢作用的擺數上少。伊嘛予你遭遇的變異數數學變異數結果佇期望值周圍散偌開的量度。單號注懸，一賠一的注低。讀規篇 →上大，閣予這暗緊緊結束。這條定理號做「大膽耍上好」，是Dubins佮Savage佇1965年證明的。
問題對佗位開始
這个問題比輪盤較早。1656年Pascal出一个謎題予Fermat：兩个玩家擲三粒骰仔，逐个對12枝籌仔開始；擲出11，一枝籌仔徙向一爿，擲出14徙向另外一爿。兩人攏解出來，Huygens對數學家Pierre de Carcavi的一張批聽著，1657年共伊印做第一本機率冊的第五題，有答案，無證明。十一有27種擲法，十四干焦15種，所以逐枝籌仔14擺有9擺徙向頭一个玩家彼爿，頂懸的公式，逐人12枝籌仔，予伊贏了了的可能性比輸了了大約大1,157倍。2.70%的優勢細真濟，毋過仝一條公式顯示伊佇真濟注內底按怎作用。
一注真正大膽的注
2004年4月，一个少年的英國人Ashley Revell共伊差不多所有的物件攏賣掉，連衫嘛賣，紮$135,300去拉斯維加斯的Plaza。押幾注細的了後，伊共規个金額押佇紅注紅押18个紅號碼的一賠一的注。法文：rouge。讀規篇 →，一擺。球仔設備球仔沿球道、佮轉盤反方向射出去的細粒球仔。現代的球仔是ivorine抑是鐵氟龍，18–21 mm。讀規篇 →落佇紅7，伊紮$270,600行出去。佇雙零轉輪零號彼个青色的單一格仔，一賠一的注、打注佮欄注攏無包著；賭場優勢的來源。嘛叫做單零、0。讀規篇 →轉輪頂，彼擺轉是47.37%的機會，平均愛伊$7,121，就是一注5.26%的優勢。若分做$10的注，仝款的目標差不多無望。大膽的耍法無予這注變好；伊予這注盡量短。
無目標的破產風險
若你干焦耍到輸了了，抑是N擺了後停，問題就變做「我的本錢佇N擺內底碰著零的機會是偌濟？」。一般的N無封閉形式的公式，毋過這个網站的模擬器會算：$500的本錢押紅$10，100擺內底差不多袂破產（無到1%），500擺內底大約9%的時間破產，5,000擺內底大約95%。若無停手的規則，機率會趨向100%，這就是賭場優勢數學賭場優勢逐注注額內底，平均予賭場留落來的比例：歐式輪盤是2.70%。讀規篇 →長期的版本。
- 第10百分位 −$500
- 第25百分位 −$500
- 中位數 −$500
- 第75百分位 +$0
- 第90百分位 +$350
偌久，閣會贏偌遠
閣有兩个古典的結果，回答玩家真正會問的問題。無目標的時，固定一賠一的注佇歐式轉輪平均逐單位本錢撐37擺，美式是19擺，因為逐擺平均提去1/37單位（美式轉輪是1/19）：100單位平均撐3,700擺，雖然這款場有一半佇3,134擺以內就結束（看「一場的長度佮成本」）。而且毋管本錢偌大，佇歐式轉輪頂捌贏k單位的機會是(18/19)ᵏ。一單位是95%，十單位是58%，毋過毋管偌深的本錢，攏無一半的機會捌贏13單位；佇美式轉輪頂機會是(9/10)ᵏ，7單位就跌落一半以下。
有一半機會的本錢
共問題倒反過來：你愛紮偌濟，才有上少一半的機會，佇輸了了進前贏著一个指定的金額？贏較少，免偌濟。贏較濟，需要的本錢就崎崎起去，過一个點，就無任何本錢夠額，因為就算是無底的本錢，捌贏到遐遠的機會嘛無到一半。Taylor（2021）用另外一種講法：佇美式轉輪頂，欲有一半的機會達到100單位，你愛對94開始，冒94的險去贏6。佇歐式轉輪頂你需要88。
實際的教訓
決定你欲做啥物。若目標是一个指定的贏，就押大、押少。若目標是一个長長的暗暝，就押細，接受優勢會對真大的總落注額錢總落注額一場抑是一段時間落注的總金額，閣落落去的贏的錢嘛算。英文嘛叫handle、action。讀規篇 →提去伊的2.70%。若兩項攏欲，就有一項愛讓，通常是目標。
公式
問題
數學好耍
先家己試看覓。逐題的解答攏摺起來矣；準備好才拍開。
你有$100，想欲變$1,000，干焦押紅注紅押18个紅號碼的一賠一的注。法文：rouge。讀規篇 →。計畫一：一擺落$1。計畫二：規个攏落，到超過$500，才落拄好夠到$1,000的額。佗一个計畫較好，好偌濟？
看解答
答案 計畫二，好足濟。伊大約9.0%的時到$1,000，倚近公平的10%。計畫一大約10²²擺成功7擺。
佇公平的遊戲數學公平的遊戲雙方攏無優勢的遊戲：逐注的期望值攏是零。讀規篇 →，毋管你按怎做，對$100到$1,000攏是十擺有一擺，因為你的錢平均的價值猶原是$100。
賭場優勢對逐注收2.70%，所以你總共落愈少，就愈倚近十擺有一擺。計畫二幾注就決定：$100變$200、$400、$800，閣來$200就夠。伊大約9.0%的時成功。計畫一愛落幾若千注才結束，逐注細細的優勢，加起來就差不多一定破產。
這是Dubins–Savage結果上簡單的形式（Epstein，2013）：佇對莊家有利的遊戲，愛落的額盡量大，落的擺數盡量少。
你有$500，想欲變$1,000，一到就停。你揀一種注，一直重複到著一擺抑是錢用了。佗一種的機會上懸？
看解答
答案 一注$500押紅：48.6%。共錢分做較細的注的計畫，攏較䆀。
揀逐注的注額，予一擺著就夠：$30押單號注注單號注一个號碼，賠35:1。讀規篇 →贏$1,050，$60押分注注分注兩个相黏的號碼，賠17:1。讀規篇 →贏$1,020，按呢落去。閣算錢用了進前上少一注著的機率。十六注$30的單號注攏無著的機率是(36/37)¹⁶ = 64.5%，所以𪜶35.5%的時到$1,000。
表內底列逐種注。紅上好，因為伊一注就到，所以優勢干焦佇$500頂懸付一擺。六線注注六線注相連兩排的六个號碼，賠5:1。法文：sixain。讀規篇 →第二，因為干焦愛三注。單一个打注注打注1–12、13–24抑是25–36，賠2:1。讀規篇 →上䆀，機會是12/37；就算用$250的單位錢單位一个系統抑是一个玩家用的基本注額。加注系統用單位來描述，按呢佇任何賭桌攏適用。讀規篇 →一直耍到有$1,000抑是較濟，打注干焦46.4%的時到。
Bollman（2024）替美式轉輪做仝款的表。伊打注彼列寫毋著：應該是12/38 = 31.6%。
注注額 × 注數到$1,000的機率單號注$30 × 1635.5%分注$60 × 835.9%街注$90 × 534.5%角注$125 × 436.7%六線注$166, $166, $16841.2%打注$500 × 132.4%紅$500 × 148.6%你一擺閣一擺押紅一个單位，本錢錢本錢為著耍特別囥起來的規个總額。本錢管理就是決定逐注佮逐場欲冒偌濟風險。讀規篇 →永遠用袂了。轉頭一擺了後，你贏一个單位抑是輸一个單位。你閣會拄好平的機率是偌濟？
看解答
答案 37分之36，97.3%。佇美式轉輪是38分之36，94.7%。
若頭一擺著（37擺內底18擺），你贏一个單位，閣優勢會共逐場無盡的拖落去，所以早慢會閣經過平：這是一定的。若輸（37擺內底19擺），你愛爬一个單位轉來，閣早慢會淨贏一个單位的機率是18/19（請看頂懸的表）。
合起來：18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37。
一般來講，機率是一減一擺著佮輸的機率的差：歐式轉輪1 − 1/37，美式1 − 2/38。佇無零號轉輪零號彼个青色的單一格仔，一賠一的注、打注佮欄注攏無包著；賭場優勢的來源。嘛叫做單零、0。讀規篇 →的遊戲，差是零，機率是1：分數永遠會轉來平。Epstein（2013）提出一般的規則。
Pascal 1656年的題目：兩个玩家擲三粒骰仔，逐个用12塊籌碼開始。逐擺擲11就徙一塊予第一个玩家，逐擺擲14就徙一塊予第二个；其他的點數無算。第一个玩家共24塊攏贏去的機率有偌懸？若改做你逐擺押紅1个單位，對做莊的朋友，逐个12个單位，你共24个攏贏去的機率有偌懸？
看解答
答案 第一个玩家大約1,158擺贏1,157擺。你押紅，干焦大約34%的時會共24个單位攏贏去。
三粒骰仔擲11有27種，擲14有15種，所以逐塊徙的籌碼，42擺有27擺去第一个玩家，就是14擺有9擺。兩爿攏對12開始，共規个提去的機率是1/(1 + r¹²)，r是對方的機會比你的機會。
第一个玩家r = 5/9，(5/9)¹² ≈ 0.00086，所以機率大約0.99914：賠率9¹²比5¹²，就是282,429,536,481比244,140,625，大約1,157比1。Huygens佇1657年就印出遮的數字。
押紅，因為有零號r = 19/18，(19/18)¹² ≈ 1.913：你的機率是1/2.913 ≈ 34.3%。銀角仔會予你50%。逐注2.70%的優勢，佇愛落的真濟注內底加起來，變做16个百分點的差。
笑詼漫畫
大膽耍上好。嘛真緊就結束。
來源
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”