Kelly準則佮輪盤
凱利準則共有優勢的落注者講注額愛偌濟。對輪盤，伊的答案真清楚：無。
凱利注額 = 優勢 / 賠率。優勢是負的時，公式算出一个負的比例，意思是莫落注。這个準則猶是有路用，予人了解押偏差的玩家為啥物按呢決定注額，閣有為啥物其他逐家應該照預算決定注額。
準則
John Kelly（1956）問：一个知影家己優勢的跋筊的人，注額愛按怎決定，才會予本錢錢本錢為著耍特別囥起來的規个總額。本錢管理就是決定逐注佮逐場欲冒偌濟風險。讀規篇 →長期的成長上大。對一注是b賠1、著的機率數學機率一个結果的機會，對0到1，抑是0%到100%。一个號碼：1/37 = 2.70%。讀規篇 →p、輸的機率q = 1 − p的注，答案是押本錢的f* = (bp − q) / b。f*是正的，就押彼个比例；零抑是負的，就莫押。Kelly佇Bell Labs做工課，伊的論文〈A new interpretation of information rate〉共這个問題囥佇Claude Shannon的資訊理論內底：一个透過有雜訊的線路得著消息的跋筊的人，佇公平的賠率之下，本錢上好會當用線路傳資訊的速度成長。1961年Leo Breiman證明，長期來講，凱利落注會贏過任何本質上無仝的策略，嘛差不多用上短的時間達到一个設定的目標。
輪盤的凱利落注
紅注紅押18个紅號碼的一賠一的注。法文：rouge。讀規篇 →：b = 1，p = 18/37，q = 19/37；f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37。單號注注單號注一个號碼，賠35:1。讀規篇 →：b = 35，p = 1/37，q = 36/37；f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295。逐種標準注攏得著負的凱利比例，因為逐注攏是負的優勢，成長上好的注額是零。輪盤的凱利落注，是用正式的方法講賭場優勢彼頁講的代誌：負期望值的注，無任何大細會予本錢成長。
凱利真正用會著的所在
押偏差的玩家有優勢，嘛有注額的問題。Jagger、García-Pelayo一家佮Eudaemons攏愛決定佇𪜶量出來的優勢頂懸押偌濟，押傷少會拍損優勢，押傷濟會佇優勢顯現進前就破產。一个著率30分之1的格仔設備格仔轉盤頂37个有號碼的格仔其中一个。英文嘛叫slot、cup。讀規篇 →，凱利講逐擺佇彼个號碼押本錢的0.57%：$10,000的話，逐擺大約$57，典型的成長大約逐擺0.054%，1,000擺是×1.7。平均的趁頭是兩倍，逐擺0.11%，毋過凱利瞄準的是典型的本錢，毋是平均的，平均會予幾段好運的膨起來。因為優勢的估計無確定，實際上通常揀半凱利。
典型佮平均
典型的本錢佮平均的本錢差真遠。提一个著率25分之1的格仔，優勢44%，就是Thorp講伊的裝置的數字。凱利押本錢的1.26%。1,000擺了後，典型的本錢大約變11.5倍，平均的予幾段非常好運的拖懸，大約變249倍。押比凱利較濟，會提懸平均，降低典型的結果：押凱利注額的兩倍，典型的本錢干焦變兩倍；押到凱利注額的兩倍半，伊就縮細，雖然逐注猶是有44%的優勢。押較少損失無偌濟：一半的注額會保留大約四分之三的成長。
優勢是臆的時
凱利假設優勢是知影的。佇賭桌頂伊是估計的，估計通常傷懸。Epstein的例，用Thorp的44%做基礎，是一个佇雙零轉輪零號彼个青色的單一格仔，一賠一的注、打注佮欄注攏無包著；賭場優勢的來源。嘛叫做單零、0。讀規篇 →轉輪1,225擺內底著49擺的號碼：25分之1，44%的優勢，凱利注額1.26%。毋過一座公平的雙零轉輪有38个號碼，其中上定出的彼个，1,225擺內底到49擺以上，大約九擺有一擺。任何紀錄內底上定出的號碼，嘛是運氣上鬥相共的，所以就算是真正有偏差的格仔，佇紀錄內底看起來嘛比實際較好：這就是贏家的詛咒。若彼个格仔其實無偏差，凱利注額就干焦是一注平均輸5.26%的注。通常的對策是押凱利的一部分，閣繼續算，到優勢佇一份新的紀錄內底猶原存在（看「按怎檢測輪盤轉輪偏差」）。
有優勢的人
知影優勢佮共伊用好勢是無仝款的代誌。Haghani佮Dewey（2016）予61个人逐个$25，予𪜶佇半點鐘內押一个𪜶聽講有60%的時間出正面的銅錢，贏的錢上限$250（玩家到上限的時才知影有上限）。凱利講逐擺押本錢的20%佇正面，作者估計穩穩押10–20%，大約95%的時間會到上限。干焦21%的玩家到位。28%輸了了，61个內底有18个捌共規个押佇一擺擲，大約三分之一收場的時比開始的$25較少，平均賠付錢賠付一注著的時退予你的錢，用「X賠1」表示，閣另外退還注額。讀規篇 →是$91。61个內底干焦五个捌聽過凱利準則。有優勢的時，注額的大細決定你守會牢無；無優勢的時，親像佇公平的轉輪，無任何大細有路用。
改用啥物
無優勢的時，決定注額是預算的問題，毋是成長的問題：注額 = 你逐擺願意開的錢，對逐點鐘的預算佮賭桌的速度推出來（本錢管理彼頁）。凱利對普通玩家的貢獻，是伊答案的清楚：零。你押超過零的任何錢，攏是耍的價數，是你家己揀的，毋是任何公式最佳化的。
關於部分凱利佮「資金管理」的說明
號做「輪盤用的凱利」來賣、建議逐注押本錢固定百分比的系統，是注額會縮細的固定落注策略固定落注逐擺攏落仝款的金額。逐款加注系統攏用伊做比較的基準。讀規篇 →。𪜶輸總落注額錢總落注額一場抑是一段時間落注的總金額，閣落落去的贏的錢嘛算。英文嘛叫handle、action。讀規篇 →的2.70%，而且因為輸的時注額會縮細，𪜶是予破產變慢，毋是予破產較無可能。這是予預算撐較久的合理方法；伊毋是凱利，凱利會講停。
公式
問題
數學好耍
先家己試看覓。逐題的解答攏摺起來矣；準備好才拍開。
Thorp佮Shannon的預測裝置有大約44%的優勢。押單一个預測的號碼，Kelly講愛落本錢錢本錢為著耍特別囥起來的規个總額。本錢管理就是決定逐注佮逐場欲冒偌濟風險。讀規篇 →的1.26%。若仝款44%的優勢是佇一注分佇五个相連號碼的注呢？
看解答
答案 按呢Kelly講愛落本錢的7.1%，本錢大起來的速度差不多緊六倍：1,000注了後大約變125萬倍，另外彼个大約11.5倍。
有44%優勢的單號注注單號注一个號碼，賠35:1。讀規篇 →，著的機率是0.04，因為36 × 0.04 = 1.44。Kelly的注額是優勢除賠率：0.44/35 = 1.26%。逐注一般的成長是0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244，所以1,000注共本錢乘大約e^2.44 ≈ 11.5。
共一份注額分佇五个號碼，這注著的機率是0.20，賠「36/5 for 1」，就是6.2賠1：猶原是44%的優勢，因為0.2 × 7.2 = 1.44。Kelly的注額變做0.44/6.2 = 7.10%，逐注的成長0.01404，大約5.75倍。1,000注就是e^14.04，大約125萬。
優勢仝款；起落較細。五擺著一擺的注，會當擔較大份的本錢，袂有破產的風險，Kelly的成長就獎勵這个。Thorp（1984）用這个例來講預測的玩家為啥物押區段轉輪區段轉輪頂連做伙的一弧格仔，佮落注桌面頂的一組號碼無仝。讀規篇 →。實際上五个厝邊注鄰號注一个號碼，佮轉輪頂伊兩爿各兩个格仔，用五塊單號籌碼。讀規篇 →的優勢比上好的單一个號碼較低淡薄（請看優勢玩法）。
一个玩家揣著兩个相連的格仔設備格仔轉盤頂37个有號碼的格仔其中一个。英文嘛叫slot、cup。讀規篇 →，逐个25擺著1擺，毋是37擺1擺。伊應該押𪜶中間的分注注分注兩个相黏的號碼，賠17:1。讀規篇 →，是17賠1，抑是逐个號碼押單號注？Kelly講偌濟？佮一个按呢的格仔比，本錢大偌緊？
看解答
答案 無差：分注落本錢的2.59%，抑是逐个號碼1.29%。一般的本錢1,000擺大約大155倍，一个格仔是11.5倍。
分注著的機率數學機率一个結果的機會，對0到1，抑是0%到100%。一个號碼：1/37 = 2.70%。讀規篇 →是2/25 = 0.08，是17賠1，所以逐落一个單位錢單位一个系統抑是一个玩家用的基本注額。加注系統用單位來描述，按呢佇任何賭桌攏適用。讀規篇 →提轉來18 × 0.08 = 1.44：44%的優勢，佮一个有偏差的格仔仝款。Kelly的注額是優勢除賠率：0.44/17 = 2.59%。
兩注逐注1.29%的單號注，結果一模一樣。任一个號碼出，一塊籌碼錢籌碼代表固定金額的牌仔，囥佇落注桌面頂來落注。英文嘛叫check。讀規篇 →35賠1著，另外一塊輸，淨額是本錢的34 × 1.29% = 44%，佮分注賠的仝款；兩个攏無出，兩塊攏輸。
逐擺的成長是0.00505，一个格仔是0.00244，所以1,000擺了後一般的本錢大e^5.046 ≈ 155倍，毋是e^2.44 ≈ 11.5倍。兩个好號碼的價值比一个的兩倍閣較濟真濟，所以揣偏差的玩家押一組一組的號碼。Thorp（1984）有做仝款的比較。
笑詼漫畫
成長上好的輪盤注額，是逐家早就知影的數字。
來源
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”