題目：桌限
佇一張$500的賭桌耍$10的馬丁格爾。伊偌定破功，破功的時輸偌濟，提懸桌限敢有幫贊？
連輸六擺就破功：逐輪1.8%，100擺的場大約60%。破功愛$630。共桌限提懸到$5,000，破功較少（逐輪0.25%）閣較大（$5,110）。毋管桌限偌濟，逐箍落注的預期損失攏是2.70%。
題目
一个玩家押紅注紅押18个紅號碼的一賠一的注。法文：rouge。讀規篇 →$10，逐擺輸就加倍，贏了就重設。賭桌的上限是$500。(a) 連紲輸幾擺，加注系統策略加注系統任何照進前的結果改變注額的規則。輸了加注的系統佇輸了後加注，贏了加注的系統佇贏了後加注。讀規篇 →就破功？(b) 逐輪的機率數學機率一个結果的機會，對0到1，抑是0%到100%。一个號碼：1/37 = 2.70%。讀規篇 →是偌濟？(c) 破功的時輸偌濟？(d) $5,000的桌限按怎改變答案？(e) 敢有任何桌限會予這套系統趁錢？
解答(a)–(c)
注額：10、20、40、80、160、320。第七注會是640 > 500，所以輸六擺就破功。(b) 押紅p（輸）= 19/37；(19/37)⁶ = 0.0183，逐輪大約1.8%。一輪平均大約兩擺，所以一場100擺大約有50輪，p（上少破功一擺）≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%。(c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630，就是63个基本單位錢單位一个系統抑是一个玩家用的基本注額。加注系統用單位來描述，按呢佇任何賭桌攏適用。讀規篇 →，這輪本來欲贏的干焦$10。
解答(d)
$5,000的時：注額會當到2,560；第十注5,120予人拒絕。輸九擺就破功：(19/37)⁹ ≈ 逐輪0.25%，100擺的場大約11%。破功的損失：10 + 20 + … + 2,560 = $5,110。玩家用較大的災難，買一个較少見的災難。濟場算起來，破功的預期成本是p × 損失：$500桌限逐輪 ≈ 0.0183 × 630 = $11.5，$5,000是0.0025 × 5,110 = $12.8；兩个真倚，毋過無相等，逐个攏是這輪的預期損失數學預期損失期望值乘總落注額；一場抑是一段時間內底平均輸去的金額。讀規篇 →加贏的輪趁的$10。
解答(e)
無。逐輪的預期損失 = （這輪預期的總注額）/ 37，毋管桌限偌濟，因為逐注攏是伊本身的−1/37。桌限干焦決定損失按怎分佇真濟細的贏佮少數大的輸。若無桌限閣有無限的本錢錢本錢為著耍特別囥起來的規个總額。本錢管理就是決定逐注佮逐場欲冒偌濟風險。讀規篇 →，這套加注系統會「有效」，意思是伊永遠袂破功，毋過伊嘛會押無限的金額，預期損失是彼个無限金額的2.70%。予馬丁格爾策略馬丁格爾逐擺輸了就共注加倍的加注系統。伊會做著啥、做袂到啥，請看策略單元。讀規篇 →無效的毋是桌限賭桌桌限允准的最低額佮最高額。擋加倍系統的，就是最高額。讀規篇 →。是算術。
兩張真正的賭桌
Thorp的例是一張$1的賭桌，上限$1,000，一个玩家希望一擺一箍趁$30食暗頓。注額1、2、4……512允准十注，所以連輸十擺就破功：佇歐式轉輪785輪一擺（美式613輪一擺），代價$1,023。三十輪攏成功的機會是96.2%。賰的3.8%輸大約$1,000，這暗的平均結果是−$9.17，拄好是三十輪平均押的$339的1/37。一張$5、上限$2,000的賭桌嘛仝款：注額到$1,280允准九注，佇歐式轉輪403輪破功一擺（美式323輪一擺），代價$2,555。
一个好額的玩家
予這套加注系統一筆深的本錢，毋是低的桌限：1,000單位，基本一單位，押紅1,000擺，後一个加倍若超過賰的錢，就閣對一單位開始。阮模擬一百萬暗。佇歐式轉輪，52%贏收場，21%輸了了，平均結果是−124單位。就算是佇一个無零號轉輪零號彼个青色的單一格仔，一賠一的注、打注佮欄注攏無包著；賭場優勢的來源。嘛叫做單零、0。讀規篇 →、逐注攏公平的遊戲，嘛干焦大約60%會贏收場。普通的一暗是細細的贏；平均是靠彼寡輸到零的暗暝來付的。
教訓
賭場設桌限是為著限制𪜶家己的變異數數學變異數結果佇期望值周圍散偌開的量度。單號注懸，一賠一的注低。讀規篇 →，毋是為著拍敗系統。拍敗馬丁格爾是𪜶歡喜接受的副作用，就算無，算術嘛會拍敗伊。一个認為桌限是問題的玩家，揣著的是斷崖，煞共伊當做是斜坡。
公式
問題
伊予你會當撐到較懸的桌限，佇遐破功較少、較大。逐箍的預期損失無變。
注額10、30、70、150、310：輸五擺就碰著$500的桌限，破功愛$570。仝款2.70%。
予一个玩家袂當押超過賭場的準備金輕鬆賠會起的金額。變異數管理。
數學好耍
先家己試看覓。逐題的解答攏摺起來矣；準備好才拍開。
一个馬丁格爾策略馬丁格爾逐擺輸了就共注加倍的加注系統。伊會做著啥、做袂到啥，請看策略單元。讀規篇 →對$100押紅注紅押18个紅號碼的一賠一的注。法文：rouge。讀規篇 →開始，一輪上濟允准家己落n注：連輸n擺就放棄，重新開始。共一輪的平均結果寫做n的公式，閣佇歐式轉輪算5、6佮7注。
看解答
答案 平均是100 × (1 − (38/37)ⁿ)：5注−$14.26，6注−$17.35，7注−$20.52。允准落較濟注，予平均的一輪較䆀，毋是較好。
一輪贏$100，除非n注攏輸，機率是qⁿ，q = 19/37。攏輸的時，注額100、200 … 100 × 2ⁿ⁻¹加起來是100 × (2ⁿ − 1)。所以平均是100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)。
遮2q = 38/37，比1較大淡薄，所以(2q)ⁿ綴n大起來，平均就落：n = 5得著1.1426佮−$14.26；n = 6得著1.1735佮−$17.35；n = 7得著1.2052佮−$20.52。較長的樓梯較少輸，3.6%、1.8%佮0.9%的輪，毋過逐擺輸的攏是兩倍大，閣逐輪過賭桌的錢較濟，逐注收2.70%。
佇美式轉輪2q = 40/38，數字是−$29.24、−$36.04佮−$43.20（Taylor，2021）。佇無零號轉輪零號彼个青色的單一格仔，一賠一的注、打注佮欄注攏無包著；賭場優勢的來源。嘛叫做單零、0。讀規篇 →的遊戲2q = 1，毋管樓梯偌長，逐輪平均拄好是零。
「大馬丁格爾」輸了共注額加倍閣加一个單位錢單位一个系統抑是一个玩家用的基本注額。加注系統用單位來描述，按呢佇任何賭桌攏適用。讀規篇 →，所以注額是1、3、7、15、31 …頭一擺贏佇第1、第2、第3抑是第k注的時，你贏偌濟？一个單位$10、上懸$500，一輪偌捷會破功？一輪平均開偌濟？
看解答
答案 佇第k注贏，你就贏k个單位：+1、+2、+3按呢落去。$10佮$500的時，連輸五擺這輪就破功，3.57%的輪，−$570。平均一輪佇落的$85.73內底輸$2.32：2.70%。
第k注的注額是2ᵏ − 1个單位：1、3、7、15、31。頭k − 1注加起來是2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1。第k注贏賠2ᵏ − 1，所以這輪結束的時贏(2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k个單位：贏進前逐擺輸加一个單位。
一个單位$10，注額是$10、$30、$70、$150佮$310；後一注$630超過$500的上懸。連輸五擺，(19/37)⁵ = 3.57%，開10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570。
平均：k = 1到5，贏的機率是(19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37，趁$10 × k，破功的機率3.57%，收去$570；合起來−$2.32。一輪平均落$85.73，2.32/85.73 = 2.70%。仝一張賭桌普通的馬丁格爾連輸六擺破功，1.83%的輪，−$630，佇落的$64.20內底輸$1.74：閣是2.70%。
一个玩家計畫佇桌限$1,000的賭桌，用$1的頭注押紅耍馬丁格爾，所以會當落十注：$1、$2、$4按呢到$512。一輪偌捷十注攏輸？平均愛偌久？一暗200注偌捷會按呢結束？
看解答
答案 一輪大約784擺有一擺十注攏輸，開$1,023。平均大約愛1,600注，一暗200注大約11%的時撞著壁。一輪平均猶原佇落的$11.31內底輸$0.31：2.70%。
押紅輸的機率是19/37，零號包佇內底。連紲十擺：(19/37)¹⁰ ≈ 0.00128，大約784分之1。注額1 + 2 + 4 + … + 512加起來是$1,023。
一輪平均2.05注，所以784輪大約1,600注。一擺一擺算，200注內底某所在出現連輸十擺，有11.3%的時。
災難中間玩家逐輪贏$1：彼擺䆀的進前大約$783，閣來−$1,023，規段大約−$240。逐輪：1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31。逐輪落的錢：1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31。閣−0.31/11.31 = −2.70%。
比較$500桌限、$10的頭注，六注：55輪撞著壁一擺，一暗200注84%的時會拄著。桌限較懸，予崩盤較罕得閣較大，毋是較俗。
笑詼漫畫
毋管啥物桌限，攏是較少、較大。相乘是固定的。
來源
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.